Упр.175 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

В квадрате $$ABCD$$ отметили точку $$M$$ так, что треугольник $$AMB$$ — равносторонний. Докажите, что треугольник $$CMD$$ — равнобедренный.

1) Так как $$\triangle AMB$$ равносторонний, то

$$\angle MAB=\angle MBA=60^\circ,$$

$$AM=BM.$$

2) Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Тогда

$$\angle A=\angle B=90^\circ,$$

$$AD=BC.$$

3) Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$BMC$$.

Имеем:

$$\angle MAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$

$$\angle MBC=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Кроме того, $$AM=BM$$ и $$AD=BC$$. Значит, $$\triangle AMD \cong \triangle BMC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда

$$MD=CM.$$

4) В треугольнике $$CMD$$ получаем

$$CM=MD,$$

следовательно, $$\triangle CMD$$ равнобедренный.

Ответ

$$\triangle CMD$$ равнобедренный, так как $$CM=MD.$$