Упр.173 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 173. Точки М, К, N, Р являются соответственно серединами сторон АВ, ВС, CD и AD квадрата АВCD. Докажите, что четырёхугольник MKNP — квадрат.

Подробный ответ

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Так как точки $$M, K, N, P$$ — середины сторон $$AB, BC, CD, AD$$ соответственно, то

$$AM=MB,\quad BK=KC,\quad CN=ND,\quad AP=PD.$$

Поскольку в квадрате все стороны равны, имеем

$$AB=BC=CD=AD,$$

следовательно,

$$AM=MB=BK=KC=CN=ND=DP=PA=\frac12 AB.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle MBK$$ и $$\triangle NCK$$. В них

$$MB=BK,\quad KC=CN,$$

а углы $$\angle MBK$$ и $$\angle NCK$$ равны $$90^\circ$$, так как стороны квадрата перпендикулярны. Значит, эти треугольники равнобедренные прямоугольные, поэтому

$$\angle BKM=\angle CKN=45^\circ.$$

Теперь в четырёхугольнике $$MKNP$$ все стороны равны:

$$MK=KN=NP=PM.$$

Следовательно, $$MKNP$$ — ромб.

Найдём угол ромба:

$$\angle MKN=\angle BKM+\angle CKN=45^\circ+45^\circ=90^\circ.$$

Ромб с прямым углом — это квадрат. Значит, четырёхугольник $$MKNP$$ — квадрат.