Упр.172 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 172. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Подробный ответ

Рассмотрим четырёхугольник $$MNCK$$. По условию $$MN \parallel BC$$ и $$CK \subset BC$$, значит $$MN \parallel CK$$. Также $$MK \parallel AC$$ и $$NC \subset AC$$, следовательно $$MK \parallel NC$$.

Итак, в четырёхугольнике $$MNCK$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит $$MNCK$$ — параллелограмм.

Так как $$AC \perp BC$$, то $$NC \perp CK$$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником, значит $$MNCK$$ — прямоугольник.

Кроме того, $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$, а $$\angle C = 90^\circ$$. Тогда

$$\angle MCK = \angle NCM = 45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$CMK$$ угол при $$C$$ равен $$45^\circ$$, значит его катеты равны: $$CK = CM$$. Аналогично из равенства углов при биссектрисе получаем $$MN = NC$$. Следовательно, в параллелограмме $$MNCK$$ соседние стороны равны, значит $$MNCK$$ — ромб.

Итак, четырёхугольник $$MNCK$$ одновременно является прямоугольником и ромбом, значит он — квадрат.