Упр.171 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 171. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. В квадрате диагонали перпендикулярны и равны, значит

$$AC \perp BD,\qquad AC=BD.$$

По условию $$MN \parallel AC$$ и $$MP \parallel BD$$. Тогда в четырёхугольнике $$MBDP$$ противоположные стороны попарно параллельны:

$$MB \parallel PD,\qquad MP \parallel BD,$$

следовательно, $$MBDP$$ — параллелограмм. Поэтому

$$MP=BD.$$

Аналогично, так как $$MN \parallel AC$$ и $$NK \parallel BD$$, то в четырёхугольнике $$MNCA$$ имеем

$$MN \parallel AC,\qquad MA \parallel NC,$$

значит, $$MNCA$$ — параллелограмм, откуда

$$MN=AC.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$MNKP$$. По условию

$$MN \parallel PK,\qquad MP \parallel NK,$$

значит, $$MNKP$$ — параллелограмм. Кроме того, из $$MN \parallel AC$$ и $$MP \parallel BD$$, а также из $$AC \perp BD$$ получаем

$$MN \perp MP.$$

Следовательно, параллелограмм $$MNKP$$ имеет прямой угол, значит, это прямоугольник. При этом

$$MP=BD=AC=MN.$$

Итак, $$MNKP$$ — прямоугольник с равными соседними сторонами, значит, это квадрат.

Ответ

$$MNKP$$ — квадрат.