Упр.170 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) любой квадрат является параллелограммом;
2) любой ромб является квадратом;
3) любой прямоугольник является квадратом;
4) любой квадрат является прямоугольником;
5) любой квадрат является ромбом;
6) если диагонали четырёхугольника равны, то он является прямоугольником;
7) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он является ромбом;
8) существует ромб, который является прямоугольником;
9) существует квадрат, который не является ромбом;
10) если диагонали четырёхугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом;
11) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником;
12) если диагональ прямоугольника делит его угол пополам, то этот прямоугольник является квадратом?

Подробный ответ

Проверим каждое утверждение, опираясь на определения и свойства четырёхугольников.

Квадрат является прямоугольником, а любой прямоугольник — параллелограммом. Значит, квадрат — параллелограмм. Да.
Ромб не обязан иметь все углы равными, поэтому не каждый ромб является квадратом. Нет.
Прямоугольник не обязан иметь все стороны равными, значит, не каждый прямоугольник является квадратом. Нет.
Квадрат — это прямоугольник по определению. Да.
Квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, то есть ромбом. Да.
Равенство диагоналей само по себе не означает, что четырёхугольник — прямоугольник. Нет.
Перпендикулярность диагоналей сама по себе не означает, что четырёхугольник — ромб. Нет.
Квадрат одновременно является и ромбом, и прямоугольником. Да.
Квадрат является ромбом, значит, утверждение неверно. Нет.
Если диагонали четырёхугольника не перпендикулярны, это не исключает, что он может быть ромбом. Следовательно, утверждение неверно. Нет.
В параллелограмме равные диагонали не являются обязательным признаком прямоугольника; если диагонали не равны, то параллелограмм не может быть прямоугольником, так как у прямоугольника диагонали равны. Да.
Если в прямоугольнике диагональ делит угол пополам, то получаются равные прямоугольные треугольники, откуда следует равенство соседних сторон. Значит, этот прямоугольник — квадрат. Да.