Упр.168 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На стороне $$BC$$ квадрата $$ABCD$$ (рис. 52) отметили точку $$K$$ так, что $$\angle AKB = 74^\circ$$. Найдите угол $$CAK$$.

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Тогда диагональ $$AC$$ делит угол $$C$$ пополам, значит

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle BCD=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$$

Точка $$K$$ лежит на стороне $$BC$$, поэтому лучи $$KB$$ и $$KC$$ — противоположные. Следовательно, углы $$\angle AKB$$ и $$\angle AKC$$ смежные:

$$\angle AKC=180^\circ-\angle AKB=180^\circ-74^\circ=106^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AKC$$. В нём сумма углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle AKC+\angle ACK+\angle CAK=180^\circ.$$

Подставим найденные значения:

$$106^\circ+45^\circ+\angle CAK=180^\circ,$$

откуда

$$\angle CAK=180^\circ-151^\circ=29^\circ.$$

Ответ

$$29^\circ$$