Упр.163 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 163. На продолжении стороны АС треугольника АВС за точку А отметили точку D так, что AD = АВ, а на продолжении этой стороны за точку С — точку Е так, что СЕ = ВС. Найдите углы и периметр треугольника АВС, если DE = 18 см, угол BDA = 15°, угол ВЕС = 36°.

Рассмотрим треугольник $$DAB$$. Так как $$AD=AB$$, то он равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle ABD=\angle ADB=15^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAD=180^\circ-15^\circ-15^\circ=150^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ECB$$. Так как $$CE=BC$$, то он равнобедренный, значит,

$$\angle CBE=\angle BEC=36^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ECB=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ углы при вершинах $$A$$ и $$C$$ смежные с найденными углами:

$$\angle A=180^\circ-\angle BAD=180^\circ-150^\circ=30^\circ,$$

$$\angle C=180^\circ-\angle ECB=180^\circ-108^\circ=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-30^\circ-72^\circ=78^\circ.$$

Найдём периметр треугольника $$ABC$$. Так как $$AD=AB$$ и $$CE=BC$$, то

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=AD+CE+AC.$$

Но точки $$D, A, C, E$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$AD+AC+CE=DE.$$

Следовательно,

$$P_{ABC}=DE=18\text{ см}.$$

Ответ

$$\angle A=30^\circ,\ \angle B=78^\circ,\ \angle C=72^\circ,\ P_{ABC}=18\text{ см}.$$