Упр.162 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На сторонах угла с вершиной в точке $$A$$ отложены равные отрезки $$AB$$ и $$AC$$. Через точки $$B$$ и $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные сторонам $$AB$$ и $$AC$$ соответственно, которые пересекаются в точке $$D$$. Докажите, что луч $$AD$$ является биссектрисой угла $$BAC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$.

По условию $$BD \perp AB$$ и $$CD \perp AC$$, значит

$$\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ.$$

Кроме того, $$AD$$ — общая сторона, а также $$AB = AC$$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$ равны по катету и гипотенузе.

Из равенства треугольников получаем:

$$\angle BAD = \angle CAD.$$

Значит, луч $$AD$$ делит угол $$\angle BAC$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$BAC$$.

Ответ

$$AD$$ — биссектриса угла $$BAC$$.