Упр.161 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Даны точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$. Постройте ромб $$ABCD$$ так, чтобы точка $$M$$ была серединой стороны $$AB$$, а точки $$N$$ и $$K$$ — основаниями высот, проведённых из вершины $$B$$ к стороне $$AD$$ и из вершины $$D$$ к стороне $$BC$$ соответственно.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$NK$$. Тогда прямая $$MO$$ будет серединным перпендикуляром к $$NK$$, а значит, точки $$N$$ и $$K$$ симметричны относительно прямой, проходящей через $$M$$ и $$O$$.

Проведём из точки $$M$$ окружность радиуса $$MO$$. Через точку $$K$$ проведём прямую, параллельную $$MO$$, и отметим на пересечении с окружностью точку $$B$$. Тогда $$BK \parallel MO$$.

Через точку $$N$$ проведём прямую, параллельную $$MO$$, и отметим на пересечении с окружностью точку $$A$$. Тогда $$AN \parallel MO$$.

Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности с центром в $$M$$ и радиусом $$MO$$, а значит, $$MA=MB$$.

На прямой $$BK$$ отложим отрезок $$BC=AB$$, а на прямой $$AN$$ — отрезок $$AD=AB$$.

Соединим точки $$C$$ и $$D$$. Получим четырёхугольник $$ABCD$$. По построению $$AB=BC=CD=DA$$, следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

Кроме того, $$BK \parallel MO$$ и $$AN \parallel MO$$, поэтому $$BK \parallel AN$$. Из построения точки $$K$$ и $$N$$ являются основаниями высот, проведённых соответственно из вершин $$D$$ и $$B$$ к сторонам $$BC$$ и $$AD$$.