Упр.160 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) по сумме диагоналей и углу между диагональю и стороной;
2) по острому углу и разности диагоналей;
3) по острому углу и сумме стороны и высоты;
4) по стороне и сумме диагоналей;
5) по тупому углу и сумме диагоналей;
6) по стороне и разности диагоналей.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $$H$$. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, поэтому построение удобно вести через прямой угол и биссектрису.

1) По сумме диагоналей и углу между диагональю и стороной.

Построим отрезок $$MR$$, равный $$\dfrac{1}{2}$$ суммы диагоналей. В точке $$R$$ проведём перпендикуляр к прямой $$MR$$. Построим биссектрису прямого угла. От луча $$MR$$ отложим угол, равный данному углу между диагональю и стороной. Обозначим точку пересечения этого луча с биссектрисой через $$N$$. Из точки $$N$$ опустим перпендикуляр к прямой $$MK$$ и отметим точку $$S$$ на его пересечении с этой прямой. На прямой $$NS$$ отложим $$ST=NS$$, а на прямой $$MS$$ — $$SK=MS$$. Четырёхугольник $$MNKT$$ — искомый ромб.

2) По острому углу и разности диагоналей.

Построим две перпендикулярные прямые и отметим их пересечение $$H$$. Построим биссектрису прямого угла. На одной из прямых отложим $$HM=\dfrac{1}{2}$$ разности диагоналей. От луча $$MH$$ отложим угол, равный данному острому углу, и получим луч $$MN$$. Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$MN$$. Из точки $$N$$ опустим перпендикуляр к прямой $$MH$$ и отметим на нём точку $$T$$ пересечения с окружностью. Из точки $$N$$ проведём окружность радиуса $$MN$$; точку пересечения с прямой $$MH$$ обозначим через $$K$$. Тогда $$MNKT$$ — искомый ромб.

3) По острому углу и сумме стороны и высоты.

Построим две перпендикулярные прямые и отметим их пересечение $$H$$. На одной прямой отложим $$HM=AB$$, где $$AB$$ — сумма стороны и высоты. От луча $$MH$$ отложим угол, равный данному острому углу, и получим луч $$ME$$. Построим биссектрису угла $$MEH$$ и отметим точку $$N$$ на её пересечении с прямой $$MH$$. На прямой $$ME$$ отложим $$MT=MN$$. Из точек $$N$$ и $$T$$ проведём окружности радиуса $$MN$$; их пересечение обозначим через $$K$$. Четырёхугольник $$MNKT$$ — искомый ромб.

4) По стороне и сумме диагоналей.

Построим две перпендикулярные прямые и отметим их пересечение $$H$$. Построим биссектрису прямого угла. На одной прямой отложим $$HM=\dfrac{1}{2}$$ суммы диагоналей. Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса, равного стороне ромба. От луча $$MH$$ отложим угол, равный углу между стороной и диагональю, и получим луч $$MN$$. Из точки $$N$$ опустим перпендикуляр к прямой $$MH$$ и отметим точку $$T$$ на пересечении с окружностью. Из точки $$N$$ проведём окружность того же радиуса; точку её пересечения с прямой $$MH$$ обозначим через $$K$$. Тогда $$MNKT$$ — искомый ромб.

5) По тупому углу и сумме диагоналей.

Построим две перпендикулярные прямые и отметим их пересечение $$H$$. Построим биссектрису прямого угла. На одной прямой отложим $$HM=\dfrac{1}{2}$$ суммы диагоналей. От луча $$MH$$ отложим угол, равный данному тупому углу, и получим луч $$MN$$. Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$MN$$. Из точки $$N$$ опустим перпендикуляр к прямой $$MH$$ и отметим точку $$T$$ на пересечении с окружностью. Из точки $$N$$ проведём окружность радиуса $$MN$$; точку пересечения с прямой $$MH$$ обозначим через $$K$$. Четырёхугольник $$MNKT$$ — искомый ромб.

6) По стороне и разности диагоналей.

Построим две перпендикулярные прямые и отметим их пересечение $$H$$. Построим биссектрису прямого угла. На одной прямой отложим $$HM=\dfrac{1}{2}$$ разности диагоналей. Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса, равного стороне ромба. От луча $$MH$$ отложим угол, равный углу между стороной и диагональю, и получим луч $$MN$$. Из точки $$N$$ опустим перпендикуляр к прямой $$MH$$ и отметим точку $$T$$ на пересечении с окружностью. Из точки $$N$$ проведём окружность того же радиуса; точку её пересечения с прямой $$MH$$ обозначим через $$K$$. Тогда $$MNKT$$ — искомый ромб.