Упр.157 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 157. В прямоугольнике АВCD известно, что AD = 9 см, угол BDA = 30°. На сторонах ВС и AD отметили соответственно точки М и К так, что образовался ромб АМСК. Найдите стороны этого ромба.
В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали пересекаются и делятся пополам, значит точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, то есть
$$AO=OD=\frac12 AC.$$
Рассмотрим треугольник $$AOD$$. Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AD \perp AB$$, а угол $$\angle BDA=30^\circ$$ задаёт угол между диагональю $$BD$$ и стороной $$DA$$. Из симметрии прямоугольника получаем, что
$$\angle OAD=\angle ODA=30^\circ,$$
следовательно, треугольник $$AOD$$ равнобедренный.
Теперь рассмотрим ромб $$AMCK$$. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, поэтому
$$MK \perp AC,$$
а также $$AC$$ — биссектриса угла $$A$$. Тогда
$$\angle MAK=2\angle CAD=60^\circ.$$
В ромбе все стороны равны, значит $$AM=AK$$. Кроме того, диагональ $$MK$$ в ромбе делит его пополам, поэтому
$$MK=2OK.$$
Из полученного угла $$\angle MAK=60^\circ$$ следует, что треугольник $$MAK$$ равносторонний, значит
$$AK=MK.$$
Тогда
$$AK=MK=2OK.$$
Рассмотрим треугольник $$AKO$$. Так как $$\angle AKO=120^\circ$$, а $$\angle OAK=30^\circ$$, то
$$\angle DKO=180^\circ-\angle AKO=120^\circ.$$
В треугольнике $$DKO$$ имеем
$$\angle DKO+\angle ODK+\angle DOK=180^\circ,$$
то есть
$$120^\circ+30^\circ+\angle DOK=180^\circ,$$
откуда
$$\angle DOK=30^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$DKO$$ равнобедренный, значит
$$OK=DK.$$
Теперь найдём сторону $$AD$$:
$$AD=AK+KD=AK+OK.$$
Так как $$AK=2OK$$, получаем
$$AD=2OK+OK=3OK.$$
По условию $$AD=9$$ см, значит
$$3OK=9,\quad OK=3.$$
Тогда
$$AK=2\cdot 3=6.$$
Поскольку все стороны ромба равны, то
$$AM=MC=CK=KA=6\text{ см}.$$
Ответ
$$6\text{ см}$$