Упр.154 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

В треугольнике $$\mathrm{АВС}$$ проведён серединный перпендикуляр его биссектрисы $$\mathrm{BD}$$, который пересекает стороны $$\mathrm{АВ}$$ и $$\mathrm{ВС}$$ в точках $$\mathrm{К}$$ и $$\mathrm{Р}$$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $$\mathrm{BKDP}$$.

Рассмотрим треугольники $$KOB$$ и $$POB$$.

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, а точки $$K$$ и $$P$$ лежат на серединном перпендикуляре к $$BD$$, то $$KO \perp BD$$ и $$PO \perp BD$$. Следовательно,

$$\angle KOB=\angle POB=90^\circ.$$

Кроме того, $$OB$$ — общая сторона, а углы $$\angle KBO$$ и $$\angle PBO$$ равны, так как $$BD$$ делит угол $$B$$ пополам. Значит, $$\triangle KOB \cong \triangle POB$$ по катету и острому углу, откуда

$$KO=PO.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$BKDP$$. В нём диагонали $$BD$$ и $$KP$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам, так как $$BO=OD$$ и $$KO=PO$$. Значит, $$BKDP$$ — параллелограмм.

Так как по условию $$BD \perp KP$$, то диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Следовательно, $$BKDP$$ — ромб.

Ответ

$$BKDP$$ — ромб.