Упр.153 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 153. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекают его стороны ВС и AD в точках F и Е соответственно. Определите вид четырёхугольника ABFE.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$.

Рассмотрим биссектрису угла $$A$$, которая пересекает $$BC$$ в точке $$F$$. Тогда при секущей $$AF$$ и параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ имеем:

$$\angle BAF=\angle AFB.$$

Следовательно, $$\triangle ABF$$ равнобедренный, значит

$$AB=BF.$$

Аналогично, для биссектрисы угла $$B$$, которая пересекает $$AD$$ в точке $$E$$, получаем:

$$\angle ABE=\angle AEB,$$

поэтому $$\triangle ABE$$ равнобедренный и

$$AB=AE.$$

Отсюда

$$AE=BF.$$

Кроме того, точки $$E$$ и $$F$$ лежат на параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$, значит

$$AE \parallel BF.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABFE$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна: $$AE=BF$$ и $$AE \parallel BF$$. Следовательно, $$ABFE$$ — параллелограмм.

Так как $$AF$$ — биссектриса угла $$A$$, то в параллелограмме $$ABFE$$ соседние стороны равны: $$AB=AE$$. Значит, все стороны параллелограмма равны, то есть $$ABFE$$ — ромб.

Ответ

ромб