Упр.152 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Отрезок $$AM$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Через точку $$M$$ проведены прямая, параллельная стороне $$AC$$ и пересекающая сторону $$AB$$ в точке $$K$$, и прямая, параллельная стороне $$AB$$ и пересекающая сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AM \perp DK$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$AKMD$$. По условию $$MK \parallel AC$$, а точка $$D$$ лежит на прямой, проведённой через $$M$$ параллельно $$AB$$, значит $$MD \parallel AB$$.

Так как точки $$K$$ и $$A$$ лежат на прямой $$AB$$, а точки $$M$$ и $$D$$ лежат на прямых, параллельных соответственно $$AC$$ и $$AB$$, то получаем:

$$AK \parallel MD,\qquad AD \parallel KM.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AKMD$$ — параллелограмм.

Теперь рассмотрим углы параллелограмма. Поскольку $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$ треугольника $$ABC$$, то

$$\angle BAM=\angle MAC.$$

Но $$AK \subset AB$$, а $$AD \parallel KM \parallel AC$$, поэтому в параллелограмме $$AKMD$$ луч $$AM$$ делит угол при вершине $$A$$ пополам. Значит, параллелограмм $$AKMD$$ является ромбом.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. Диагоналями ромба $$AKMD$$ являются $$AM$$ и $$DK$$, значит

$$AM \perp DK.$$

Ответ

$$AM \perp DK.$$