Упр.151 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

На сторонах $$AB$$ и $$AD$$ ромба $$ABCD$$ отложены равные отрезки $$AE$$ и $$AF$$ соответственно. Докажите, что $$\angle CEF = \angle CFE$$.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. В ромбе все стороны равны, значит

$$AB=BC=CD=AD.$$

Рассмотрим треугольники $$EBC$$ и $$FDC$$.

Так как $$E$$ лежит на стороне $$AB$$, а $$F$$ — на стороне $$AD$$, то

$$EB=AB-AE,$$

$$FD=AD-AF.$$

По условию $$AE=AF$$, а в ромбе $$AB=AD$$, следовательно,

$$EB=AB-AE=AD-AF=FD.$$

Кроме того, $$\angle EBC=\angle ABC$$ и $$\angle FDC=\angle ADC$$. В ромбе противоположные углы равны, значит

$$\angle EBC=\angle FDC.$$

Также

$$BC=CD.$$

Следовательно, $$\triangle EBC \cong \triangle FDC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем

$$EC=FC.$$

Значит, треугольник $$CEF$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle CEF=\angle CFE.$$

Ответ

$$\angle CEF=\angle CFE.$$