Упр.150 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 150. Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Диагональ $$BD$$ является биссектрисой угла $$D$$, поэтому

$$\angle EDB=\angle FDB=\frac{1}{2}\angle ADC.$$

Так как $$BE$$ и $$BF$$ — высоты, то

$$\angle BED=\angle BFD=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle BED$$ и $$\triangle BFD$$. У них:

• $$BD$$ — общая сторона;
• $$\angle BED=\angle BFD=90^\circ$$;
• $$\angle EDB=\angle FDB$$.

Следовательно, $$\triangle BED \cong \triangle BFD$$ по гипотенузе и острому углу. Значит,

$$\angle EBD=\angle FBD.$$

То есть диагональ $$BD$$ делит пополам угол между высотами, проведёнными из вершины $$B$$.

Ответ

$$\angle EBD=\angle FBD.$$