Упр.149 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 149. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения высоты $$BH$$ со стороной $$AD$$. По условию $$AH=HD$$, значит точка $$H$$ — середина стороны $$AD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$AB=AD$$, то он равнобедренный с основанием $$BD$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также медианой, значит $$BH$$ — медиана к $$AD$$. Но по условию $$H$$ — середина $$AD$$, следовательно, в треугольнике $$ABD$$ отрезок $$BH$$ является и высотой, и медианой.

Тогда треугольник $$ABD$$ равнобедренный, а поскольку высота из вершины тупого угла делит сторону пополам, получаем, что $$\triangle ABD$$ — равносторонний. Значит,

$$\angle A = \angle ABD = 60^\circ.$$

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$. Поэтому

$$\angle C = \angle A = 60^\circ,$$

$$\angle B = \angle D = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ.$$

Теперь найдём сторону ромба. В равностороннем треугольнике $$ABD$$ все стороны равны, значит

$$AB = BD = AD.$$

По условию меньшая диагональ ромба равна $$4$$ см, а здесь $$BD=4$$ см, следовательно,

$$AB=4\text{ см}.$$

Периметр ромба:

$$P_{ABCD}=4AB=4\cdot 4=16\text{ см}.$$