Упр.148 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 148. Докажите, что высоты ромба равны.

Подробный ответ

1) Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Тогда $$BC \parallel AD$$, $$AB \parallel CD$$, а также $$AB=BC$$ и $$\angle A=\angle C$$.

2) В четырёхугольнике $$GBEA$$ имеем $$BG \parallel AE$$, так как обе прямые перпендикулярны стороне $$AB$$: $$AG \perp BG$$ и $$BE \perp AE$$. Следовательно, $$AG \parallel BE$$. Значит, $$GBEA$$ — параллелограмм, откуда $$AG=BE$$.

3) Аналогично, в четырёхугольнике $$BHCF$$: $$BH \parallel CF$$, так как $$BF \perp CF$$ и $$CH \perp BH$$, а значит $$BF \parallel CH$$. Следовательно, $$BHCF$$ — параллелограмм, откуда $$BF=CH$$.

4) Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CBF$$. Имеем:

$$\angle AEB=\angle CFB=90^\circ,$$

$$\angle BAE=\angle BCF,$$

так как $$BA \parallel BC$$ и $$AE \parallel CF$$.

Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle CBF$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда

$$BE=BF.$$

Из пунктов 2 и 3 получаем также $$AG=BE$$ и $$BF=CH$$, значит

$$AG=BE=BF=CH.$$

Что и требовалось доказать.