Упр.147 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 147. Точки Е и F — соответственно середины сторон ВС и CD ромба ABCD. Докажите, что угол EAC = углу FАС.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. В ромбе все стороны равны, значит $$BC=CD$$. Кроме того, диагональ $$AC$$ является биссектрисой угла $$C$$, поэтому

$$\angle BCA=\angle DCA.$$

Так как точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, то

$$EC=\frac{1}{2}BC,\qquad FC=\frac{1}{2}CD.$$

Из равенства $$BC=CD$$ получаем $$EC=FC$$.

Рассмотрим треугольники $$AEC$$ и $$AFC$$. В них:

$$AC$$ — общая сторона;
$$EC=FC$$;
$$\angle ECA=\angle FCA$$, так как лучи $$CE$$ и $$CB$$ совпадают, а лучи $$CF$$ и $$CD$$ совпадают, и $$AC$$ — биссектриса угла $$C$$.

Следовательно, $$\triangle AEC \cong \triangle AFC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle EAC=\angle FAC.$$