Упр.146 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Точки $$M$$ и $$K$$ — соответственно середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ ромба $$ABCD$$. Докажите, что $$MD = KD$$.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. По определению ромба все его стороны равны, значит

$$AB=BC=CD=DA.$$

Точки $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, поэтому

$$AM=MB,\qquad BK=KC.$$

Тогда

$$AM=\frac{1}{2}AB,\qquad CK=\frac{1}{2}BC,$$

а так как $$AB=BC$$, то

$$AM=CK.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AMD$$ и $$\triangle CKD$$. В них

$$AM=CK,$$

$$AD=CD,$$

$$\angle MAD=\angle KCD,$$

так как $$\angle A=\angle C$$ в ромбе, а лучи $$AM$$ и $$AB$$ совпадают, $$CK$$ и $$CB$$ совпадают.

Следовательно, $$\triangle AMD \cong \triangle CKD$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Отсюда соответствующие стороны равны:

$$MD=KD.$$

Ответ

$$MD=KD.$$