Упр.145 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 145. Углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, относятся как 2 : 7. Найдите углы ромба.

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, значит

$$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ADB=\frac{1}{2}\angle D.$$

По условию

$$\angle DAC:\angle ADB=2:7.$$

Пусть $$\angle DAC=2x,$$ тогда $$\angle ADB=7x.$$

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому в треугольнике $$AOD$$

$$\angle DAO+\angle ADO=90^\circ.$$

Но $$\angle DAO=\angle DAC=2x,$$ а $$\angle ADO=\angle ADB=7x.$$ Тогда

$$2x+7x=90^\circ,$$

$$9x=90^\circ,$$

$$x=10^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle DAC=20^\circ,\qquad \angle ADB=70^\circ.$$

Тогда углы ромба равны:

$$\angle A=2\angle DAC=40^\circ,$$

$$\angle D=2\angle ADB=140^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, значит

$$\angle C=\angle A=40^\circ,\qquad \angle B=\angle D=140^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=40^\circ,\ \angle B=140^\circ,\ \angle C=40^\circ,\ \angle D=140^\circ.$$