Упр.142 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Найдите углы ромба, если его периметр равен $$24\ \text{см}$$, а высота равна $$3\ \text{см}$$.

В ромбе все стороны равны, поэтому

$$AB=BC=CD=DA=\frac{P_{ABCD}}{4}=\frac{24}{4}=6\text{ см}.$$

Пусть $$BH$$ — высота ромба, тогда $$BH\perp AD$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. В нём $$AB=6\text{ см}$$, $$BH=3\text{ см}$$, значит

$$\sin \angle BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$\angle BAH=30^\circ.$$

Угол $$A$$ ромба равен $$\angle BAH$$, значит

$$\angle A=30^\circ.$$

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$. Тогда

$$\angle C=\angle A=30^\circ,$$

$$\angle B=\angle D=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=30^\circ,\ \angle B=150^\circ,\ \angle C=30^\circ,\ \angle D=150^\circ.$$