Упр.135 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 135. На плоскости отметили 1000 точек. Докажите, что существует прямая, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по 500 точек.

Проведём через любые две из данных точек прямую. Затем повернём эту прямую вокруг одной из точек так, чтобы она не проходила ни через одну из остальных точек. При таком положении все 1000 точек окажутся по одну сторону от прямой.

Теперь будем непрерывно поворачивать прямую. При каждом малом повороте точки будут переходить из одной полуплоскости в другую только по одной. В начальном положении в одной полуплоскости находится $$0$$ точек, в другой — $$1000$$. После поворота на $$180^\circ$$ эти числа поменяются местами: $$1000$$ и $$0$$.

Значит, в процессе поворота обязательно найдётся положение прямой, при котором в одной полуплоскости окажется ровно $$500$$ точек. Тогда в другой полуплоскости тоже будет $$500$$ точек.

Следовательно, существует прямая, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по $$500$$ точек.

Ответ

Такая прямая существует.