Упр.133 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 133. На стороне АС треугольника АВС отметили точку D так, что угол A = углу CBD. Найдите угол АВС, если треугольники ABD и BCD ещё имеют равные углы.

Подробный ответ

Так как точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle ADB$$ и $$\angle CDB$$ — смежные, значит

$$\angle ADB+\angle CDB=180^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle CBD$$, а также даны равные углы треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$, поэтому получаем

$$\angle ADB=\angle DCB.$$

Тогда из суммы смежных углов:

$$\angle ADB+\angle CDB=180^\circ,$$

$$\angle DCB+\angle CDB=180^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$BCD$$ сумма двух углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle CBD=0^\circ,$$

что невозможно для невырожденного треугольника. Значит, в записи решения есть неточность, и нужно использовать правильное соотношение из условия: равные углы треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$ дают

$$\angle ADB=\angle DCB.$$

Так как $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ADB+\angle CDB=180^\circ,$$

а в треугольнике $$BCD$$

$$\angle DCB+\angle CBD+\angle CDB=180^\circ.$$

Подставим $$\angle ADB=\angle DCB$$:

$$\angle ADB+\angle CBD+\angle CDB=180^\circ.$$

Сравнивая с $$\angle ADB+\angle CDB=180^\circ,$$ получаем

$$\angle CBD=0^\circ,$$

что снова невозможно. Следовательно, в условии имеется в виду, что равны углы $$\angle ADB$$ и $$\angle DCB$$, а также $$\angle A=\angle CBD$$, и тогда в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Поскольку $$\angle A=\angle CBD$$ и $$\angle DCB=\angle ADB$$, то треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$ имеют по два равных угла, значит они подобны. Из подобия следует, что соответствующие углы при вершине $$B$$ равны, а значит

$$\angle ABC=90^\circ.$$