Упр.131 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) по диагонали и разности двух сторон;
2) по периметру и диагонали;
3) по периметру и углу между диагоналями.

Подробный ответ

1) По диагонали и разности двух сторон.

Пусть $$AB$$ — диагональ прямоугольника, а $$CD$$ — разность его сторон. Построим прямую и отметим на ней точку $$E$$. В точке $$E$$ построим перпендикуляр к этой прямой и биссектрису прямого угла.

На биссектрисе отложим $$EK=CD$$. Из точки $$K$$ проведём окружность радиуса $$AB$$ и отметим точку $$M$$ на пересечении с прямой. Из точки $$M$$ опустим перпендикуляр на прямую $$EK$$ и отметим точку $$N$$ на его пересечении с этой прямой.

Затем из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$KN$$, а из точки $$K$$ — окружность радиуса $$MN$$. Их пересечение обозначим буквой $$T$$. Четырёхугольник $$EMKT$$ — искомый прямоугольник.

2) По периметру и диагонали.

Пусть $$P$$ — периметр прямоугольника, а $$d$$ — его диагональ. Построим прямую и отметим на ней точку $$E$$. В точке $$E$$ построим перпендикуляр к прямой и биссектрису прямого угла.

На прямой отложим отрезок $$EN=\frac{P}{4}$$. Из точки $$N$$ проведём окружность радиуса $$d$$ и отметим точку $$T$$ на пересечении с биссектрисой. Из точки $$T$$ опустим перпендикуляр на прямую $$EN$$ и отметим точку $$M$$ на его пересечении с этой прямой.

Далее из точки $$T$$ проведём окружность радиуса $$MN$$, а из точки $$N$$ — окружность радиуса $$MT$$. Их пересечение обозначим буквой $$K$$. Четырёхугольник $$EMKT$$ — искомый прямоугольник.

3) По периметру и углу между диагоналями.

Пусть $$P$$ — периметр прямоугольника, а $$\angle O$$ — угол между диагоналями. Построим прямую и отметим на ней точку $$E$$. В точке $$E$$ построим перпендикуляр к прямой и биссектрису прямого угла.

На прямой отложим отрезок $$EN=\frac{P}{4}$$. От луча $$NE$$ отложим угол, равный $$\frac{\angle O}{2}$$. На его стороне отметим точку $$T$$. Из точки $$T$$ опустим перпендикуляр на прямую $$EN$$ и отметим точку $$M$$ на его пересечении с этой прямой.

Затем из точки $$T$$ проведём окружность радиуса $$MN$$, а из точки $$N$$ — окружность радиуса $$MT$$. Их пересечение обозначим буквой $$K$$. Четырёхугольник $$EMKT$$ — искомый прямоугольник.