Упр.129 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 129. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, соседние стороны которого не равны, пересекаясь, образуют прямоугольник.

В параллелограмме $$ABCD$$ соседние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$, то есть

$$\angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle B+\angle C=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ,\qquad \angle A+\angle D=180^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABE$$, где $$AE$$ и $$BE$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$. Тогда

$$\angle BAE=\frac12\angle A,\qquad \angle ABE=\frac12\angle B.$$

По сумме углов треугольника:

$$\angle BAE+\angle ABE+\angle AEB=180^\circ,$$

$$\frac12\angle A+\frac12\angle B+\angle AEB=180^\circ.$$

Умножим на $$2$$:

$$\angle A+\angle B+2\angle AEB=360^\circ.$$

Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, получаем

$$180^\circ+2\angle AEB=360^\circ,$$

$$2\angle AEB=180^\circ,$$

$$\angle AEB=90^\circ.$$

Аналогично для треугольника $$CKD$$, где $$CK$$ и $$DK$$ — биссектрисы углов $$C$$ и $$D$$:

$$\angle CKD=90^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMD$$. Здесь $$AM$$ и $$DM$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$D$$, поэтому

$$\angle MAD=\frac12\angle A,\qquad \angle MDA=\frac12\angle D.$$

Тогда

$$\angle MAD+\angle MDA+\angle AMD=180^\circ,$$

$$\frac12\angle A+\frac12\angle D+\angle AMD=180^\circ,$$

$$\angle A+\angle D+2\angle AMD=360^\circ.$$

Так как $$\angle A+\angle D=180^\circ$$, то

$$180^\circ+2\angle AMD=360^\circ,$$

$$\angle AMD=90^\circ.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$EMKN$$ все углы прямые:

$$\angle E=\angle M=\angle K=\angle N=90^\circ.$$

Значит, $$EMKN$$ — прямоугольник.

Ответ

$$EMKN$$ — прямоугольник.