Упр.128 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 128. В прямоугольнике ABCD известно, что угол BCA : угол DCA = 1 : 5, АС = 18 см. Найдите расстояние от точки С до диагонали BD.
В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны и пересекаются в середине, значит
$$BO=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{18}{2}=9.$$
Так как $$\angle BCD=90^\circ$$, то
$$\angle BCA+\angle DCA=90^\circ.$$
По условию $$\angle BCA:\angle DCA=1:5$$, значит
$$\angle BCA+5\angle BCA=90^\circ,$$
$$6\angle BCA=90^\circ,$$
$$\angle BCA=15^\circ.$$
Тогда в равнобедренном треугольнике $$BOC$$, где $$BO=OC$$, получаем
$$\angle OBC=\angle BCO=15^\circ.$$
Следовательно,
$$\angle BOC=180^\circ-15^\circ-15^\circ=150^\circ.$$
Поскольку $$CH\perp BD$$, то в треугольнике $$OHC$$ угол $$\angle OHC=90^\circ$$, а
$$\angle COH=180^\circ-\angle BOC=30^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$OHC$$
$$CH=OC\cdot \sin 30^\circ=9\cdot \frac{1}{2}=4{,}5.$$
Ответ: $$4{,}5\text{ см}$$.