Упр.128 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В прямоугольнике $$ABCD$$ известно, что $$\angle BCA : \angle DCA = 1 : 5$$, $$AC = 18\text{ см}$$. Найдите расстояние от точки $$C$$ до диагонали $$BD$$.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны и пересекаются в середине, значит

$$BO=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{18}{2}=9.$$

Так как $$\angle BCD=90^\circ$$, то

$$\angle BCA+\angle DCA=90^\circ.$$

По условию $$\angle BCA:\angle DCA=1:5$$, значит

$$\angle BCA+5\angle BCA=90^\circ,$$

$$6\angle BCA=90^\circ,$$

$$\angle BCA=15^\circ.$$

Тогда в равнобедренном треугольнике $$BOC$$, где $$BO=OC$$, получаем

$$\angle OBC=\angle BCO=15^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle BOC=180^\circ-15^\circ-15^\circ=150^\circ.$$

Поскольку $$CH\perp BD$$, то в треугольнике $$OHC$$ угол $$\angle OHC=90^\circ$$, а

$$\angle COH=180^\circ-\angle BOC=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OHC$$

$$CH=OC\cdot \sin 30^\circ=9\cdot \frac{1}{2}=4{,}5.$$

Ответ: $$4{,}5\text{ см}$$.