Упр.127 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 127. Серединный перпендикуляр диагонали АС прямоугольника ABCD пересекает сторону ВС в точке М так, что ВМ : МС = 1 : 2. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения серединного перпендикуляра к диагонали $$AC$$ со стороной $$BC$$ через $$M$$, а точку пересечения этого перпендикуляра с диагональю $$AC$$ — через $$O$$. Тогда $$AO=OC$$ и $$MO\perp AC$$.

Рассмотрим треугольники $$AOM$$ и $$COM$$. У них:

$$AO=OC$$;
$$MO$$ — общая сторона;
$$\angle AOM=\angle COM=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AOM \cong \triangle COM$$ по двум катетам, значит, $$AM=CM$$.

По условию $$BM:MC=1:2$$, а так как $$BM+MC=BC$$ и $$AM=CM$$, то точка $$M$$ делит сторону $$BC$$ так, что $$CM=2BM$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABM$$ имеем:

$$\angle ABM=90^\circ$$, а из соотношения сторон $$BM:AM=1:\sqrt{3}$$ получаем

$$\angle BAM=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle BMA=90^\circ-\angle BAM=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMO$$. Так как $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$, то $$AO=CO$$, а угол при точке $$O$$ прямой. Из найденного выше угла получаем:

$$\angle AMC=180^\circ-\angle BMA=120^\circ,$$

следовательно,

$$\angle AMO=\frac{1}{2}\angle AMC=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle MAO=90^\circ-\angle AMO=30^\circ.$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ угол $$\angle BAD=90^\circ$$, поэтому диагональ $$AC$$ делит его на углы

$$\angle BAC=\angle BAM+\angle MAO=60^\circ,$$

$$\angle DAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$