Упр.126 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) по стороне и диагонали;
2) по диагонали и углу между диагоналями.

Подробный ответ

1) По стороне и диагонали.

Пусть дана сторона прямоугольника $$AB$$ и диагональ $$CD$$. Построим отрезок $$MN$$, равный $$AB$$.

Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$CD$$. В точке $$N$$ построим перпендикуляр к прямой $$MN$$ и отметим точку $$K$$ на пересечении этого перпендикуляра с окружностью.

Затем из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$KN$$, а из точки $$K$$ — окружность радиуса $$MN$$. Точку их пересечения обозначим $$T$$.

Четырёхугольник $$MNKT$$ — искомый прямоугольник: $$MN=AB$$, $$NK\perp MN$$, а по построению $$MT=NK$$ и $$KT=MN$$, значит, противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, $$MNKT$$ — прямоугольник. Кроме того, его диагональ $$MK$$ равна $$CD$$, так как $$K$$ лежит на окружности с центром в $$M$$ и радиусом $$CD$$.

2) По диагонали и углу между диагоналями.

Пусть дана диагональ прямоугольника $$AB$$ и угол между диагоналями $$\angle O$$. Построим угол $$E$$, равный данному углу $$O$$, и продолжим его стороны.

Из точки $$E$$ проведём окружность радиуса $$\dfrac{AB}{2}$$. На одной стороне угла отметим точки $$M$$ и $$K$$, на другой — точки $$N$$ и $$T$$, являющиеся точками пересечения с окружностью.

Соединим точки $$M, N, K, T$$. Тогда четырёхугольник $$MNKT$$ — прямоугольник: его диагонали $$MK$$ и $$NT$$ пересекаются в точке $$E$$, делятся ею пополам и образуют данный угол. Так как все точки лежат на окружности радиуса $$\dfrac{AB}{2}$$ с центром в $$E$$, то $$MK=NT=AB$$, а равенство противоположных сторон и свойство диагоналей прямоугольника дают искомую фигуру.