Упр.124 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 124. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

На луче $$AO$$ отметим точку $$D$$ так, что $$OD=AO$$.

Тогда в четырёхугольнике $$ABDC$$ диагонали $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам, так как $$AO=OD$$ и $$BO=OC$$. Следовательно, $$ABDC$$ — параллелограмм.

Так как $$\angle BAC=90^\circ$$, то параллелограмм $$ABDC$$ является прямоугольником. Значит, его противоположные стороны равны:

$$AD=BC.$$

Точка $$O$$ — середина диагонали $$AD$$, поэтому

$$AO=\frac{1}{2}AD.$$

С учётом $$AD=BC$$ получаем:

$$AO=\frac{1}{2}BC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AO=\frac{1}{2}BC$$