Упр.123 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 123. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Подробный ответ

Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По условию $$\angle CAB=\angle DBA$$, а так как точки $$A,O,C$$ лежат на одной прямой и точки $$B,O,D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle OAB=\angle OBA.$$

Следовательно, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, значит

$$OA=OB.$$

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Тогда

$$AO=OC=BO=OD.$$

Отсюда

$$AO+OC=BO+OD,$$

то есть

$$AC=BD.$$

Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником. Значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.