Упр.122 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ известно, что угол $$C = 90^\circ$$, $$AC = BC = 6$$ см. Прямоугольник $$CMKN$$ построен так, что точка $$M$$ принадлежит катету $$AC$$, точка $$N$$ — катету $$BC$$, а точка $$K$$ — гипотенузе $$AB$$. Найдите периметр прямоугольника $$CMKN$$.

Так как $$AC=BC=6\text{ см}$$ и $$\angle C=90^\circ,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный прямоугольный. Следовательно,

$$\angle A=\angle B.$$

Из суммы углов треугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+\angle A+90^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle A=90^\circ,$$

$$\angle A=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMK.$$ В нём

$$\angle A+\angle K=90^\circ,$$

$$45^\circ+\angle K=90^\circ,$$

$$\angle K=45^\circ.$$

Значит, треугольник $$AMK$$ равнобедренный, поэтому

$$MK=AM.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$BNK$$ получаем

$$\angle B+\angle K=90^\circ,$$

$$45^\circ+\angle K=90^\circ,$$

$$\angle K=45^\circ,$$

следовательно, $$BNK$$ равнобедренный и

$$NK=BN.$$

Тогда периметр прямоугольника $$CMKN$$ равен

$$P_{CMKN}=CM+MK+KN+CN.$$

Так как $$MK=AM$$, $$KN=BN,$$ то

$$P_{CMKN}=CM+AM+BN+CN=(CM+AM)+(BN+CN)=AC+BC.$$

Следовательно,

$$P_{CMKN}=6+6=12\text{ см}.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$