Упр.122 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 122. В треугольнике АВС известно, что угол C = 90°, АС = ВС = 6 см. Прямоугольник CMKN построен так, что точка М принадлежит катету АС, точка N — катету ВС, а точка К — гипотенузе АВ. Найдите периметр прямоугольника CMKN.

Так как $$AC=BC=6\text{ см}$$ и $$\angle C=90^\circ,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный прямоугольный. Следовательно,

$$\angle A=\angle B.$$

Из суммы углов треугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+\angle A+90^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle A=90^\circ,$$

$$\angle A=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMK.$$ В нём

$$\angle A+\angle K=90^\circ,$$

$$45^\circ+\angle K=90^\circ,$$

$$\angle K=45^\circ.$$

Значит, треугольник $$AMK$$ равнобедренный, поэтому

$$MK=AM.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$BNK$$ получаем

$$\angle B+\angle K=90^\circ,$$

$$45^\circ+\angle K=90^\circ,$$

$$\angle K=45^\circ,$$

следовательно, $$BNK$$ равнобедренный и

$$NK=BN.$$

Тогда периметр прямоугольника $$CMKN$$ равен

$$P_{CMKN}=CM+MK+KN+CN.$$

Так как $$MK=AM$$, $$KN=BN,$$ то

$$P_{CMKN}=CM+AM+BN+CN=(CM+AM)+(BN+CN)=AC+BC.$$

Следовательно,

$$P_{CMKN}=6+6=12\text{ см}.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$