Упр.121 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 121. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины А и D принадлежат гипотенузе, а две другие — катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если АВ : ВС = 3 : 5.

Обозначим стороны прямоугольника: $$AB$$ и $$BC$$. Тогда в прямоугольнике $$ABCD$$ имеем $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$.

Так как $$\triangle MNK$$ равнобедренный и $$\angle MNK=90^\circ$$, то его углы при основании равны:

$$\angle M=\angle K,$$

$$\angle M+\angle N+\angle K=180^\circ,$$

$$\angle M+90^\circ+\angle M=180^\circ,$$

$$2\angle M=90^\circ,\quad \angle M=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$BAM$$:

$$\angle M+\angle B=90^\circ,$$

$$45^\circ+\angle B=90^\circ,$$

$$\angle B=45^\circ.$$

Значит, $$\triangle BAM$$ равнобедренный, поэтому $$BA=MA$$.

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$CDK$$:

$$\angle C+\angle K=90^\circ,$$

$$\angle C+45^\circ=90^\circ,$$

$$\angle C=45^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle CDK$$ равнобедренный, значит $$CD=DK$$.

Теперь рассмотрим отрезок $$MK$$:

$$MA+AD+DK=MK.$$

Так как $$MA=AB$$ и $$DK=CD=AB$$, получаем:

$$AB+AD+CD=55.$$

По условию $$AB:BC=3:5$$, а $$BC=AD$$, значит

$$AB=\frac{3}{5}AD=0{,}6AD.$$

Тогда

$$0{,}6AD+AD+0{,}6AD=55,$$

$$2{,}2AD=55,$$

$$AD=25.$$

Следовательно,

$$AB=0{,}6\cdot 25=15.$$

Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, то

$$CD=AB=15,$$

$$BC=AD=25.$$

Ответ

$$AB=15\text{ см},\ BC=25\text{ см},\ CD=15\text{ см},\ AD=25\text{ см}.$$