Упр.120 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 120. Периметр прямоугольника ABCD равен 30 см. Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке М, принадлежащей стороне ВС. Найдите стороны прямоугольника.
В прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны, а все углы прямые:
$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Так как $$AM$$ и $$DM$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$D$$, то
$$\angle MAD=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\angle D=\angle MDA.$$
Следовательно, $$\triangle AMD$$ равнобедренный, значит
$$AM=MD.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$DCM$$. Имеем:
$$\angle ABM=\angle DCM=90^\circ,$$
$$\angle BAM=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\angle D=\angle CDM.$$
Значит, $$\triangle ABM \cong \triangle DCM$$ по гипотенузе и острому углу, поэтому
$$BM=CM.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABM$$ угол при вершине $$A$$ равен
$$\angle BAM=\frac{1}{2}\angle A=45^\circ.$$
Тогда
$$\angle BMA=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$
следовательно, $$\triangle ABM$$ равнобедренный и
$$AB=BM.$$
Так как точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$, то
$$BC=BM+MC=BM+BM=2BM=2AB.$$
Периметр прямоугольника равен
$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD.$$
Подставим $$CD=AB$$ и $$AD=BC$$:
$$30=AB+BC+AB+BC=2AB+2BC.$$
Так как $$BC=2AB$$, получаем
$$30=2AB+2\cdot 2AB=6AB,$$
откуда
$$AB=5\text{ см}.$$
Тогда
$$BC=2\cdot 5=10\text{ см}.$$
Следовательно,
$$CD=5\text{ см},\quad AD=10\text{ см}.$$
Ответ
$$AB=CD=5\text{ см},\quad BC=AD=10\text{ см}.$$