Упр.12 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 12. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Обозначим углы четырёхугольника через $$a, b, c, d$$. По условию

$$a:b:c=4:5:7,$$

а четвёртый угол равен полусумме трёх остальных:

$$d=\frac{1}{2}(a+b+c).$$

Из отношения $$a:b:c=4:5:7$$ получаем:

$$b=\frac{5}{4}a,\qquad c=\frac{7}{4}a.$$

Тогда

$$d=\frac{1}{2}\left(a+\frac{5}{4}a+\frac{7}{4}a\right)=\frac{1}{2}(a+3a)=2a.$$

Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$, значит

$$a+b+c+d=360^\circ.$$

Подставим найденные выражения:

$$a+\frac{5}{4}a+\frac{7}{4}a+2a=360^\circ,$$

$$6a=360^\circ,$$

$$a=60^\circ.$$

Тогда

$$b=\frac{5}{4}\cdot 60^\circ=75^\circ,$$

$$c=\frac{7}{4}\cdot 60^\circ=105^\circ,$$

$$d=2\cdot 60^\circ=120^\circ.$$

Проверим выпуклость: все углы четырёхугольника меньше $$180^\circ$$, значит четырёхугольник выпуклый.

Ответ

$$60^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 120^\circ.$$ Четырёхугольник выпуклый.