Упр.119 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$ прямоугольника $$ABCD$$, $$MA \perp MD$$, периметр прямоугольника равен $$36\ \text{см}$$. Найдите стороны прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника: $$AB=x,$$ $$BC=y.$$ Тогда $$CD=x,$$ $$AD=y.$$
Так как $$M$$ — середина стороны $$BC,$$ то $$BM=MC=\frac{y}{2}.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle DCM$$. У них
$$\angle ABM=\angle DCM=90^\circ,$$
$$BM=CM,$$
$$AB=CD.$$
Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle DCM$$ по двум катетам, значит $$AM=MD.$$
Тогда $$\triangle AMD$$ — равнобедренный. По условию $$MA \perp MD,$$ значит
$$\angle AMD=90^\circ.$$
В равнобедренном треугольнике $$AMD$$ углы при основании равны, поэтому
$$\angle MAD=\angle MDA.$$
Из суммы углов треугольника:
$$\angle MAD+\angle MDA+\angle AMD=180^\circ$$
$$2\angle MAD+90^\circ=180^\circ$$
$$\angle MAD=45^\circ.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. Так как $$\angle BAD=90^\circ,$$ то
$$\angle BAM=\angle BAD-\angle MAD=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Значит, $$\triangle ABM$$ — равнобедренный, и потому
$$AB=BM.$$
Но $$BM=\frac{BC}{2},$$ следовательно
$$BC=2AB.$$
Периметр прямоугольника равен $$36$$ см, значит
$$2(AB+BC)=36$$
$$AB+BC=18.$$
Подставим $$BC=2AB$$:
$$AB+2AB=18$$
$$3AB=18$$
$$AB=6.$$
Тогда
$$BC=2\cdot 6=12.$$
Следовательно, $$CD=AB=6$$ см, $$AD=BC=12$$ см.
Ответ
$$AB=CD=6$$ см, $$BC=AD=12$$ см.
