Упр.118 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 118. На продолжении диагонали BD прямоугольника ABCD за точку В отметили точку Е, а на продолжении за точку D — точку F гак, что BE = DF. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$. Тогда

$$AC=BD,\quad AB=CD,\quad AB\parallel CD.$$

Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на продолжении диагонали $$BD$$ за точки $$B$$ и $$D$$ соответственно, то точки $$B,D,E,F$$ лежат на одной прямой, причём

$$DE=DB+BE,\qquad BF=BD+DF.$$

По условию $$BE=DF$$, значит

$$DE=DB+BE=DB+DF=BF.$$

Рассмотрим треугольники $$DCE$$ и $$BAF$$.

Так как $$DC\parallel AB$$, а $$DE$$ и $$BF$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle EDC=\angle FBA.$$

Кроме того, в прямоугольнике $$ABCD$$ имеем $$DC=AB$$. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними

$$\triangle DCE \cong \triangle BAF.$$

Отсюда

$$CE=AF,$$

а также

$$\angle CED=\angle AFB.$$

Поскольку точки $$D,E,F$$ лежат на одной прямой, углы $$\angle CED$$ и $$\angle CEF$$ — смежные с углом $$\angle CED$$ на той же прямой, а из равенства соответствующих углов получаем, что прямые $$AF$$ и $$CE$$ параллельны.

Итак, в четырёхугольнике $$AECF$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна:

$$AF=CE,\qquad AF\parallel CE.$$

Следовательно, $$AECF$$ — параллелограмм.

Он не является прямоугольником, так как его стороны не перпендикулярны: диагональ $$BD$$ прямоугольника не образует с продолжениями сторон прямые углы, значит углы параллелограмма $$AECF$$ не равны $$90^\circ$$.