Упр.117 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

На диагонали $$AC$$ прямоугольника $$ABCD$$ отложены равные отрезки $$AM$$ и $$CK$$ (точка $$M$$ лежит между точками $$A$$ и $$K$$). Докажите, что четырёхугольник $$BKDM$$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Подробный ответ

1) В прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$AD=BC,\quad AD \parallel BC.$$

Диагональ $$AC$$ является секущей для прямых $$AD$$ и $$BC$$, поэтому

$$\angle DAC=\angle BCA.$$

2) Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$CKB$$. По условию $$AM=CK$$, а также $$AD=BC$$. Кроме того, $$\angle DAM=\angle BCK$$, так как $$AM$$ и $$CK$$ лежат на одной прямой $$AC$$.

Следовательно, $$\triangle AMD \cong \triangle CKB$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда

$$MD=BK,\quad \angle AMD=\angle CKB.$$

3) Докажем, что $$MD \parallel BK$$. Для прямых $$MD$$ и $$BK$$ и секущей $$MK$$ имеем:

$$\angle DMK=180^\circ-\angle AMD,$$

$$\angle BKM=180^\circ-\angle CKB.$$

Так как $$\angle AMD=\angle CKB$$, то

$$\angle DMK=\angle BKM.$$

Следовательно, $$MD \parallel BK$$.

4) В четырёхугольнике $$BKDM$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна:

$$MD=BK,\quad MD \parallel BK.$$

Значит, $$BKDM$$ — параллелограмм.

При этом он не является прямоугольником, так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат на диагонали $$AC$$, а значит, отрезок $$MK$$ не параллелен диагонали $$BD$$ и параллелограмм не имеет прямых углов.