Упр.116 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Угол между диагоналями прямоугольника равен $$60^\circ$$, а меньшая сторона прямоугольника равна $$8\ \text{см}$$. Найдите диагональ прямоугольника.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит

$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad AC=BD.$$

Тогда

$$AO=\frac12 AC,\quad BO=\frac12 BD,$$

следовательно, $$AO=BO=CO=DO.$$

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. Так как $$AO=DO$$, он равнобедренный, поэтому

$$\angle OAD=\angle ODA.$$

По условию $$\angle AOD=60^\circ$$, значит

$$\angle OAD+\angle ODA+\angle AOD=180^\circ$$
$$\angle OAD+\angle OAD+60^\circ=180^\circ$$
$$2\angle OAD=120^\circ$$
$$\angle OAD=60^\circ.$$

Получаем, что все углы треугольника $$AOD$$ равны $$60^\circ$$, значит он равносторонний. Тогда

$$AO=AD=8\text{ см}.$$

Так как $$AO=\frac12 AC$$, то

$$AC=2AO=2\cdot 8=16\text{ см}.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$