Упр.116 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 116. Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит

$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad AC=BD.$$

Тогда

$$AO=\frac12 AC,\quad BO=\frac12 BD,$$

следовательно, $$AO=BO=CO=DO.$$

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. Так как $$AO=DO$$, он равнобедренный, поэтому

$$\angle OAD=\angle ODA.$$

По условию $$\angle AOD=60^\circ$$, значит

$$ \angle OAD+\angle ODA+\angle AOD=180^\circ $$
$$ \angle OAD+\angle OAD+60^\circ=180^\circ $$
$$ 2\angle OAD=120^\circ $$
$$ \angle OAD=60^\circ. $$

Получаем, что все углы треугольника $$AOD$$ равны $$60^\circ$$, значит он равносторонний. Тогда

$$AO=AD=8\text{ см}.$$

Так как $$AO=\frac12 AC$$, то

$$AC=2AO=2\cdot 8=16\text{ см}.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$