Упр.114 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Диагонали прямоугольника $$ABCD$$ (см. рис. 46) пересекаются в точке $$O$$, угол $$ABD = 64^\circ$$. Найдите углы $$COD$$ и $$AOD$$.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AC=BD,\quad AO=OC,\quad BO=OD.$$

Так как $$AO=\frac12 AC$$ и $$BO=\frac12 BD,$$ а $$AC=BD,$$ то

$$AO=BO.$$

Следовательно, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle OAB=\angle OBA.$$

Но $$\angle OBA=\angle ABD=64^\circ,$$ значит

$$\angle OAB=64^\circ.$$

Тогда по сумме углов треугольника $$AOB$$ получаем:

$$\angle AOB=180^\circ-64^\circ-64^\circ=52^\circ.$$

Углы $$\angle AOD$$ и $$\angle AOB$$ смежные, поэтому

$$\angle AOD=180^\circ-52^\circ=128^\circ.$$

Углы $$\angle COD$$ и $$\angle AOB$$ вертикальные, значит

$$\angle COD=\angle AOB=52^\circ.$$

Ответ

$$\angle COD=52^\circ,\quad \angle AOD=128^\circ.$$