Упр.11 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам $$2$$, $$3$$, $$10$$ и $$21$$. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Пусть углы четырёхугольника равны $$a,\ b,\ c,\ d$$. По условию

$$a:b:c:d=2:3:10:21.$$

Тогда можно записать:

$$b=\frac{3}{2}a,\quad c=\frac{10}{2}a,\quad d=\frac{21}{2}a.$$

Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$, значит

$$a+b+c+d=360^\circ,$$

$$a+\frac{3}{2}a+\frac{10}{2}a+\frac{21}{2}a=360^\circ,$$

$$a+\frac{34}{2}a=360^\circ,$$

$$18a=360^\circ,$$

$$a=20^\circ.$$

Тогда

$$b=\frac{3}{2}\cdot 20^\circ=30^\circ,$$

$$c=\frac{10}{2}\cdot 20^\circ=100^\circ,$$

$$d=\frac{21}{2}\cdot 20^\circ=210^\circ.$$

Так как один из углов четырёхугольника больше $$180^\circ$$, четырёхугольник не является выпуклым.

Ответ

$$20^\circ,\ 30^\circ,\ 100^\circ,\ 210^\circ.$$ Четырёхугольник невыпуклый.