Упр.109 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 109. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, причём $$AB=BC$$, а основание — $$AC$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

По условию $$\angle ABC=120^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle C+120^\circ+\angle C=180^\circ,$$

$$2\angle C=60^\circ,$$

$$\angle C=30^\circ.$$

Проведена высота $$AH$$ к боковой стороне $$BC$$, поэтому $$AH\perp BC$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$. В нём

$$\angle ACH=\angle C=30^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Следовательно,

$$AH=\frac{1}{2}AC.$$