Упр.109 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $$120^\circ$$, а высота, проведённая к боковой стороне, равна $$8\text{ см}$$. Найдите основание треугольника.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, причём $$AB=BC$$, а основание — $$AC$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

По условию $$\angle ABC=120^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle C+120^\circ+\angle C=180^\circ,$$

$$2\angle C=60^\circ,$$

$$\angle C=30^\circ.$$

Проведена высота $$AH$$ к боковой стороне $$BC$$, поэтому $$AH\perp BC$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$. В нём

$$\angle ACH=\angle C=30^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Следовательно,

$$AH=\frac{1}{2}AC.$$

Так как $$AH=8$$ см, получаем

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 8=16.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$