Упр.108 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 108. Прямые, на которых лежат биссектрисы AK и ВМ треугольника ABC, пересекаются под углом 74°. Найдите угол C.

Пусть прямые, на которых лежат биссектрисы $$AK$$ и $$BM$$, пересекаются в точке $$O$$.

Так как точки $$A, O, K$$ лежат на одной прямой, а точки $$B, O, M$$ — на одной прямой, то углы $$\angle AOB$$ и $$\angle AOM$$ смежные. Поэтому

$$\angle AOB+\angle AOM=180^\circ,$$

$$\angle AOB+74^\circ=180^\circ,$$

$$\angle AOB=106^\circ.$$

В треугольнике $$AOB$$ угол при вершине $$A$$ равен половине угла $$A$$ треугольника $$ABC$$, а угол при вершине $$B$$ равен половине угла $$B$$:

$$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle OBA=\frac{1}{2}\angle B.$$

Тогда

$$\angle OAB+\angle OBA+\angle AOB=180^\circ,$$

$$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B+106^\circ=180^\circ,$$

$$\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=74^\circ,$$

$$\angle A+\angle B=148^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$148^\circ+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle C=32^\circ.$$

Ответ

$$32^\circ$$