Упр.107 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 107. Точки М, N, К и Р — середины сторон АВ, ВС, CD и AD параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых AN, ВК, СР и DM, — параллелограмм.

Подробный ответ

1) В параллелограмме $$ABCD$$ имеем:

$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle C,\quad \angle B=\angle D.$$

2) Рассмотрим треугольники $$KCB$$ и $$MAD$$. Так как $$K$$ и $$M$$ — середины сторон $$CD$$ и $$AB$$, то

$$KC=\frac{1}{2}CD,\quad MA=\frac{1}{2}AB,$$

следовательно, $$KC=MA$$. Кроме того, $$\angle KCB=\angle MAD$$, так как $$CB \parallel AD$$ и $$CK \parallel CD,\ AM \parallel AB$$. Тогда

$$\triangle KCB \cong \triangle MAD$$ по первому признаку, откуда

$$BK=MD.$$

3) Рассмотрим четырёхугольник $$MBKD$$. В нём

$$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=KD,$$

и уже найдено, что $$MD=BK$$. Значит, $$MBKD$$ — параллелограмм, поэтому

$$MD \parallel BK.$$

4) Рассмотрим треугольники $$ABN$$ и $$CDP$$. Так как $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$, то

$$BN=\frac{1}{2}BC,\quad DP=\frac{1}{2}AD,$$

следовательно, $$BN=DP$$. Кроме того, $$\angle ABN=\angle CDP$$, так как $$AB \parallel CD$$ и $$BN \parallel DP$$. Тогда

$$\triangle ABN \cong \triangle CDP$$ по первому признаку, откуда

$$AN=CP.$$

5) Рассмотрим четырёхугольник $$ANCP$$. В нём

$$AP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=NC,$$

и уже найдено, что $$AN=CP$$. Значит, $$ANCP$$ — параллелограмм, поэтому

$$AN \parallel CP.$$

6) Пусть $$E$$, $$F$$, $$G$$, $$H$$ — точки пересечения прямых $$AN$$, $$BK$$, $$CP$$ и $$DM$$ соответственно. Тогда из параллельности прямых $$AN \parallel CP$$ и $$BK \parallel DM$$ следует, что противоположные стороны четырёхугольника $$EFGH$$ попарно параллельны:

$$EF \parallel GH,\quad EH \parallel FG.$$

Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.