Упр.106 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма $$CDEF$$ проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны $$CD$$ и $$EF$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно, а другая — стороны $$DE$$ и $$CF$$ в точках $$M$$ и $$K$$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $$AMBK$$ — параллелограмм.

1) В параллелограмме $$CDEF$$ противоположные стороны параллельны, значит $$CD \parallel EF$$ и $$DE \parallel CF$$. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, поэтому если $$O$$ — точка их пересечения, то $$DO=OF$$.

2) Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOF$$. У них

$$\angle AOD=\angle BOF$$ — вертикальные,

$$\angle ADO=\angle BFO$$, так как $$CD \parallel EF$$ и точки $$A,D,C$$ лежат на одной прямой, а точки $$B,F,E$$ — на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle AOD \sim \triangle BOF$$ по двум углам. Отсюда

$$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{OF}=1,$$

значит $$AO=BO$$.

3) Теперь рассмотрим треугольники $$DOM$$ и $$FOK$$. У них

$$\angle DOM=\angle FOK$$ — вертикальные,

$$\angle MDO=\angle KFO$$, так как $$DE \parallel CF$$ и точки $$M,D,E$$ лежат на одной прямой, а точки $$K,F,C$$ — на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle DOM \sim \triangle FOK$$ по двум углам. Так как $$DO=OF$$, то

$$MO=KO.$$

4) В четырёхугольнике $$AMBK$$ диагонали $$AB$$ и $$MK$$ пересекаются в точке $$O$$. При этом

$$AO=BO$$ и $$MO=KO.$$

Значит, диагонали четырёхугольника $$AMBK$$ делятся точкой пересечения пополам, а следовательно, $$AMBK$$ — параллелограмм.

Ответ

$$AMBK$$ — параллелограмм.