Упр.106 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 106. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма CDEF проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны CD и EF в точках А и В соответственно, а другая — стороны DE и CF в точках М и К соответственно. Докажите, что четырёхугольник АМВК — параллелограмм.

Подробный ответ

1) В параллелограмме $$CDEF$$ противоположные стороны параллельны, значит $$CD \parallel EF$$ и $$DE \parallel CF$$. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, поэтому если $$O$$ — точка их пересечения, то $$DO=OF$$.

2) Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOF$$. У них

$$\angle AOD=\angle BOF$$ — вертикальные,

$$\angle ADO=\angle BFO$$, так как $$CD \parallel EF$$ и точки $$A,D,C$$ лежат на одной прямой, а точки $$B,F,E$$ — на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle AOD \sim \triangle BOF$$ по двум углам. Отсюда

$$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{OF}=1,$$

значит $$AO=BO$$.

3) Теперь рассмотрим треугольники $$DOM$$ и $$FOK$$. У них

$$\angle DOM=\angle FOK$$ — вертикальные,

$$\angle MDO=\angle KFO$$, так как $$DE \parallel CF$$ и точки $$M,D,E$$ лежат на одной прямой, а точки $$K,F,C$$ — на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle DOM \sim \triangle FOK$$ по двум углам. Так как $$DO=OF$$, то

$$MO=KO.$$

4) В четырёхугольнике $$AMBK$$ диагонали $$AB$$ и $$MK$$ пересекаются в точке $$O$$. При этом