Упр.105 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 105. Через середину О диагонали NP параллелограмма MNKP проведена прямая, пересекающая стороны MN и КР в точках А и В соответственно. Докажите, что четырёхугольник ANBP — параллелограмм.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ANO$$ и $$BPO$$.

Так как $$MNKP$$ — параллелограмм, то $$MN \parallel KP$$. Прямая $$NP$$ пересекает эти параллельные прямые, значит

$$\angle MNP=\angle KPN.$$

Точка $$O$$ — середина диагонали $$NP$$, поэтому $$NO=OP$$.

Кроме того, $$\angle AON=\angle BOP$$ как вертикальные углы, а также $$\angle ANO=\angle BPO$$, поскольку $$AN$$ лежит на прямой $$MN$$, а $$BP$$ — на прямой $$KP$$, причём $$MN \parallel KP$$.

Следовательно, $$\triangle ANO \cong \triangle BPO$$ по второму признаку равенства треугольников, откуда

$$AO=OB.$$

Теперь в четырёхугольнике $$ANBP$$ диагонали $$AB$$ и $$NP$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам, так как

$$AO=OB,\qquad NO=OP.$$

Значит, четырёхугольник $$ANBP$$ — параллелограмм.