Упр.104 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 104. Биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках Е и F соответственно. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.
1) В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны, значит $$AB \parallel CD$$, а также $$\angle A = \angle C$$.
2) Прямая $$BD$$ — секущая для параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$, поэтому
$$\angle ABD = \angle CDB.$$
3) Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CDF$$.
Так как $$AE$$ и $$CF$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$, то
$$\angle BAE = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle C = \angle DCF.$$
Кроме того, $$E, F \in BD$$, поэтому
$$\angle ABE = \angle ABD,\qquad \angle CDF = \angle CDB.$$
Следовательно, $$\angle ABE = \angle CDF$$, а значит, $$\triangle ABE \cong \triangle CDF$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда
$$AE = CF,\qquad BE = DF.$$
4) Рассмотрим треугольники $$ABF$$ и $$CDE$$.
Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на диагонали $$BD$$, то
$$BF = BD — DF,\qquad DE = BD — BE.$$
Из равенства $$BE = DF$$ получаем
$$BF = DE.$$
Также
$$\angle ABF = \angle ABD = \angle CDB = \angle CDE.$$
Следовательно, $$\triangle ABF \cong \triangle CDE$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда
$$AF = CE.$$
5) В четырёхугольнике $$AECF$$ получаем
$$AE = CF,\qquad AF = CE.$$
Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны, то он является параллелограммом. Значит, $$AECF$$ — параллелограмм.
Ответ
$$AECF$$ — параллелограмм.