Упр.104 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекают его диагональ $$BD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $$AECF$$ — параллелограмм.

1) В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны, значит $$AB \parallel CD$$, а также $$\angle A = \angle C$$.

2) Прямая $$BD$$ — секущая для параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$, поэтому

$$\angle ABD = \angle CDB.$$

3) Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CDF$$.

Так как $$AE$$ и $$CF$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$, то

$$\angle BAE = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle C = \angle DCF.$$

Кроме того, $$E, F \in BD$$, поэтому

$$\angle ABE = \angle ABD,\qquad \angle CDF = \angle CDB.$$

Следовательно, $$\angle ABE = \angle CDF$$, а значит, $$\triangle ABE \cong \triangle CDF$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AE = CF,\qquad BE = DF.$$

4) Рассмотрим треугольники $$ABF$$ и $$CDE$$.

Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на диагонали $$BD$$, то

$$BF = BD — DF,\qquad DE = BD — BE.$$

Из равенства $$BE = DF$$ получаем

$$BF = DE.$$

Также

$$\angle ABF = \angle ABD = \angle CDB = \angle CDE.$$

Следовательно, $$\triangle ABF \cong \triangle CDE$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AF = CE.$$

5) В четырёхугольнике $$AECF$$ получаем

$$AE = CF,\qquad AF = CE.$$

Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны, то он является параллелограммом. Значит, $$AECF$$ — параллелограмм.

Ответ

$$AECF$$ — параллелограмм.