Упр.103 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 103. Из вершин В и D параллелограмма ABCD проведены перпендикуляры ВМ и DK к диагонали АС. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

1) В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны и равны, значит $$AD \parallel BC$$ и $$AD=BC$$.

2) Прямая $$AC$$ — секущая для параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$, поэтому

$$\angle DAC=\angle BCA.$$

3) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKD$$ и $$CMB$$:

$$\angle AKD=\angle CMB=90^\circ,$$

$$\angle DAK=\angle BCM,$$

так как $$AK$$ и $$CM$$ лежат на прямой $$AC$$.

Следовательно, $$\triangle AKD \sim \triangle CMB$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{DK}{BM}=\frac{AD}{BC}=1,$$

откуда $$DK=BM.$$

4) Так как $$BM \perp AC$$ и $$DK \perp AC,$$ то $$BM \parallel DK.$$

В четырёхугольнике $$BKDM$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна: $$BM \parallel DK$$ и $$BM=DK$$. Значит, $$BKDM$$ — параллелограмм.

Ответ

$$BKDM$$ — параллелограмм.