Упр.102 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 102. На рисунке 40 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, угол BEC = угол DFA. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны и равны, значит

$$AD \parallel BC,\quad AB \parallel CD,\quad AD=BC,\quad AB=CD.$$

Рассмотрим треугольники $$EBC$$ и $$FDA$$. По условию

$$\angle BEC=\angle DFA.$$

Кроме того, так как $$AD \parallel BC$$, то

$$\angle BCE=\angle DAF.$$

Следовательно, в треугольниках $$EBC$$ и $$FDA$$ равны две пары углов, значит, они подобны. Но при этом соответствующие стороны $$BC$$ и $$AD$$ равны, поэтому треугольники равны. Отсюда

$$EB=FD.$$

Теперь найдём стороны четырёхугольника $$AECF$$:

$$AE=AB-EB,$$

$$CF=CD-FD.$$

Так как $$AB=CD$$ и $$EB=FD$$, то

$$AE=CF.$$

Кроме того, из равенства треугольников $$EBC$$ и $$FDA$$ следует, что соответствующие углы при прямых $$AE$$ и $$CF$$ равны, значит,

$$AE \parallel CF.$$

Итак, в четырёхугольнике $$AECF$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Следовательно, $$AECF$$ — параллелограмм.