Упр.101 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 101. На рисунке 39 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, угол ВСР = угол DAE. Докажите, что четырёхугольник АРСЕ — параллелограмм.

1) В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны и равны, значит

$$AD \parallel BC,\qquad AD=BC.$$

2) Прямая $$BD$$ — секущая для параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$, поэтому

$$\angle DBC=\angle BDA.$$

3) Рассмотрим треугольники $$BPC$$ и $$DEA$$. По условию

$$\angle BCP=\angle DAE.$$

Кроме того, из равенства углов при параллельных прямых и секущей получаем

$$\angle BPC=\angle DEA.$$

Следовательно, $$\triangle BPC \cong \triangle DEA$$ по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда

$$CP=AE,$$

а также

$$\angle BPC=\angle DEA.$$

4) Рассмотрим углы $$\angle CPE$$ и $$\angle AEP$$. Так как точки $$B, P, E, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle CPE=180^\circ-\angle BPC,$$

$$\angle AEP=180^\circ-\angle DEA.$$

Поскольку $$\angle BPC=\angle DEA,$$ то

$$\angle CPE=\angle AEP.$$

Значит, $$CP \parallel AE.$$

5) В четырёхугольнике $$APCE$$ одна пара противоположных сторон параллельна и равна:

$$CP \parallel AE,\qquad CP=AE.$$

Следовательно, $$APCE$$ — параллелограмм.

Ответ

$$APCE$$ — параллелограмм.